Основные случаи употребления with:
1. Со значением с при обозначении:
а) совместности, соучастия в одном и том же действии:
Не lives with his brother. Он живет со своим братом.
Will you come and have dinner with 
me? He придете ли вы пообедать со мной?
Не likes to play with his children. Он любит играть со своими детьми,
б) наличия чего-нибудь, обладания чем-нибудь:
I have bought a book with pictures
for my little daughter. Я купила книгу с картинками для своей маленькой дочери.

в) явлений, обстоятельств, которыми сопровождается какое-нибудь действие: 
Не listened to me with interest. She said it with a smile. He likes to sleep with the windows open.
 
2. Для обозначения предмета, при помощи которого совершается действие. With в сочетании с существительным (или местоимением) соответствует в русском языке существительному (или местоимению) в творительном падеже без предлога. With в этом случае не имеет лексического значения и отдельно на русский язык не переводится:
The bread was cut with a sharp 
knife. Хлеб был нарезан острым ножом.
I like to write with a fountain pen. Я люблю писать авторучкой.
 Глаголы, прилагательные и причастия, требующие предлога with:
to agree with соглашаться с
to compare with сравнивать с
to cover with
покрывать чем-л.
to deal with
иметь дело с
to fill with
наполнять, -ся чем-л.
to insure something with
застраховать что-л. в
to leave with
оставлять у
to open an account with
открывать счет в
to supply (provide) with
снабжать чем-л.
to tremble (shake, shiver) with дрожать от
to be angry with
сердиться на
pale (red, tired) with
бледный (красный, усталый) от
pleased (displeased) with
довольный (недовольный) кем-л., чем-л.
popular with
популярный среди
satisfied with
удовлетворенный чем-л.
Примечание. В некоторых случаях предлог with соответствует в русском языке предлогу у. Однако предлог у передает большое количество разнообразных значений, которые передаются в английском языке различными способами, Некоторые наиболее употребительные нз этих значений передаются следующим образом:
Он живет у родителей (у дяди). Не lives with his parents (with his uncle).
Сопоставление предлогов with и by

Как with, так и by в сочетании с существительным соответствуют в русском языке существительному в творительном падеже без предлога. By употребляется для обозначения действующего лица или действующей силы после глагола в страдательном залоге, в том время как with употребляется для обозначения предмета, при помощи которого совершается действие, после глагола как в страдательном, так и в действительном залоге:
The fire was put out by the firemen. Пожар был затушен пожарными.
The fire was put out with water. Пожар был затушен водой.
They put out the fire with water. Они затушили пожар водой.