Глагол may в сочетании с Simple Infinitive употребляется для выражения разрешения и переводится на русский язык посредством могу, (можешь, может и т. д.);
You may take my dictionary. Вы можете (вам разрешается) взять мой словарь.
May I come in? Можно войти?

Для выражения разрешения may употребляется только в настоящем времени.
В прошедшем времени для выражения разрешения в прямой речи употребляется не глагол might, а глагол to allow разрешать в страдательном залоге:
Не was allowed to go there. Ему разрешили пойти туда.
То be allowed употребляется также вместо недостающих форм глагола may:
He has been allowed to go there. Ему разрешили пойти туда.
Не will be allowed to go there. Ему разрешат пойти туда.

Примечание. Для выражения значения, противоположного глаголу may, т. е. для выражения запрещения, наряду с may not (mayn't) нельзя употребляется must not (mustn't):
You mayn't smoke here. Вам нельзя курить здесь. 

May употребляется для выражения предположения, в правдоподобии которого говорящий не уверен:
1. В сочетании с Simple Infinitive для выражения предположения, относящегося к настоящему или к будущему. В этом случае may переводится на русский язык посредством может быть, возможно, а инфинитив — глаголом в настоящем или будущем времени. Сочетание
may с инфинитивом может также переводиться на русский язык сочетанием может (могут) с инфинитивом:
Он, может быть, (возможно), знает ее 
адрес. Не may know her address.

Для выражения предположения may употребляется также в отрицательной форме :
Он, может быть (возможно), не знает 
ее адреса. Не may not know her address.

После may употребляется Continuous Infinitive, когда высказывается предположение, что действие совершается в момент речи:
Where is he? — Не may be walking
in the garden. Где он? — Он, может быть (возможно), гуляет в саду.

2. В сочетании с Perfect Infinitive для выражения предположения, относящегося к прошедшему.
 
May переводится на русский язык может быть, возможно, а инфинитив — глаголом в прошедшем времени. Сочетание may с Perfect Infinitive может также переводиться на русский язык сочетанием мог (могли) с инфинитивом:
Он, может быть (возможно), уехал 
из Москвы. Не may have left Moscow.

Примечания: 1. Могу (можешь, может и т. д.) с инфинитивом переводится на английский язык:
а) посредством can с Simple Infinitive, когда могу употребляется со значением спосо бен, в состоянии, умею:
Я могу (способен, в состоянии) закон
чить эту работу завтра. I can finish this work tomorrow.

б) посредством may с Simple Infinitive, когда могу употребляется со значением разрешается или со значением может быть, возможно:
Вы можете (Вам разрешается) пойти
туда. You may go there.

2. Мог (могла, могли) с инфинитивом переводится на английский язык:
а) посредством could или was (were) able с Simple Infinitive для выражения возможности или способности совершать действие в прошлом:
Он мог читать французские книги, пос
ле того как он занимался французским языком в течение года. Не could (was able to) read French books after he had learned French for a year.

б) посредством could с Perfect Infinitive в тех случаях, когда мог по смыслу может быть заменен мог бы, т. е. когда речь идет о несовершившемся действии:
Вы могли (могли бы) спросить его об
этом. You could have asked him about it.

в) посредством may с Perfect Infinitive в тех случаях, когда мог означает может быть, возможно:
Он мог потерять (может быть, потерял;
возможно, потерял) ваш адрес и поэтому не пишет вам. Не may have lost your address and that's  why he doesn't write to you.


May в сочетании с Simple Infinitive употребляется в придаточных предложениях цели. Сочетание may с инфинитивом переводится на русский язык сослагательным наклонением. May в этом случае в значительной степени теряет свое лексическое значение, сохраняя лишь некоторый оттенок возможности:
I shall give him my exercises so that
he may correct them. Я дам ему свои упражнения, чтобы он их исправил.

 
Might в сочетании с SImple Infinitive употребляется для выражения предположения, относящегося к настоящему и будущему. Might выражает большую степень сомнения в возможности совершения действия:
Не might know her address. Он, может быть, и знает ее адрес (но маловероятно).
They might come to Moscow in
summer. Они, может быть, и приедут в Москву летом (но маловероятно).
Might употребляется в главной части условных предложений со значением мог бы, может быть бы:
1. В условных предложениях второго типа в сочетании с Simple Infinitive:
If he were here, he might help you. Если бы он был здесь, он мог бы помочь вам (может быть, помог бы вам).
If she called at his office at five o'clock, she might find him there.
Если бы она зашла к нему в учреждение в пять часов, она могла бы застать его там (может быть, застала бы его там).
2. В условных предложениях третьего типа в сочетании с Perfect Infinitive:
 
If you had tried, you might have got the book. 
Если бы вы постарались, вы могли бы достать эту книгу (может быть, достали бы эту книгу).
If she had called at his office at five o'clock yesterday, she might have found him there. Если бы она зашла к нему в учреждение в пять часов вчера, она могла бы застать его там (может быть, застала бы его там).

Примечание. Might употребляется (вместо may) в косвенной речи, зависящей от глагола в прошедшем времени (согласно правилу согласования времен):
1. В сочетании с Simple Infinitive, когда в соответствующей прямой речи следовало бы употребить may с Simple Infinitive:
She said that he might take her dictionary. Она сказала, что он может взять ее словарь.
Не said that she might know their address. Он сказал, что она, возможно, знает их адрес.
I gave him my exercises so that he might
correct them. Я дал ему свои упражнения, чтобы он их проверил.
2. В сочетании с Perfect Infinitive, когда в соответствующей прямой речи следовало бы употребить may с Perfect Infinitive:
Не said that she might have lost their
address. Он сказал, что она, возможно, потеряла их адрес.