Предлог up употребляется со значением вверх по после глаголов движения (противоположен по значению предлогу down):
Не walked up the stairs. Он поднялся по лестнице.
The steamer sailed up the river. Пароход шел вверх по реке.

Up гораздо чаще выступает в качестве наречия и употребляется:
1. Со значением вверх, наверх (преимущественно в сочетании с глаголами движения):
The barometer is going up. Барометр поднимается (идет вверх).
Не ran up without saying a word. Он побежал наверх, не сказав ни слова.
I looked up and saw him. Я посмотрел вверх (поднял голову) и увидел его.
 
2. В сочетании с глаголами движения для обозначения приближения к кому-л. или чему-л. В этом случае сочетание глагола с up соответствует в русском языке глаголам с приставкой под-:
to come (go, walk) up подходить,
to run up подбегать,
to swim up подплывать,
to sail up подплывать (на пароходе) и др.:
 

3. В сочетании с глаголами to eat, to drink, to fill, to use, to sell, to buy, to grow и др. для обозначения осуществления действия до конца:
Не drank up all the milk. Он выпил все молоко.
All our ink is used up. Все наши чернила израсходованы.

Наречие up употребляется также в сочетании с рядом других глаголов:
to fill up заполнять
to get up вставать
to give up оставлять, бросать (привычку)
to look up смотреть (в словаре,справочнике и т.д.)
to make up составлять
to make up for возмещать, восполнять
to pick up поднимать, подбирать
to ring (call) up звонить по телефону
to sit up сесть (подняться из лежачего положения)
to sit up late сидеть поздно (в смысле: поздно ложиться спать)
to stand up вставать
to wake up просыпаться, будить
Сочетания с up:
up to вплоть до
up-to-date современный
up and down взад и вперед
up to here до сих пор (о месте)
up to now, up to the present time до сих пор (о времени)
to come up to one's expectations оправдать ожидания кого-л.