Основные случаи употребления предлога after:
1. Для обозначения времени со значением после ( противоположен по значению предлогу before):
Не continued his work after dinner. On продолжал работу после обеда.
He returned home after twelve. Он возвратился домой после двенадцати.
2. Для обозначения места со значением за, вслед за:
Shut the door after you, please. Закройте за собой дверь, пожалуйста.
Не ran after me. Он побежал за мной.

After является также наречием и употребляется со значением после, потом, впоследствии:
We can do that after. Мы можем сделать это после.
What happened after? Что случилось (было) потом?
Не never met her after, Он никогда не встречался с ней впоследствии.

Примечание. After выступает также в качестве союза со значением после того как:
They left after the contract had been
signed.Они уехали после того, как контракт был подписан.

Сочетание с after:
after all в конце концов
day after day (week after week и т.д.) день за днем (неделя за неделей и т.д.)
three days after три дня спустя
the day after tomorrow послезавтра
long after спустя долгое время
not long after немного спустя
soon after вскоре
to name after somebody называть в честь кого-л.

То look after означает заботиться, присматривать:
She looks after her children very well. Она очень хорошо заботится о своих детях.