Основные случаи употребления предлога under:
1. Со значением под для обозначения места (противоположен по значению предлогу over):
Не was lying under a tree. Он лежал под деревом.
Не put the basket under the table. Он поставил корзину под стол.

Under соответствует русскому предлогу под и при выражении некоторых других отношений:
under the guidance (control, management, command) под руководством (контролем, управлением, командой) .
under the title (heading) под заглавием
under the name под именем
under fire под огнем (обстрелом)
under the influence под влиянием
under the impression под впечатлением

2. Co значением меньше (противоположен по значению предлогу above):
There were under fifty people there. Там было меньше пятидесяти чело век.
Не is under forty. Ему меньше сорока лет.

 Сочетания с предлогом under:

to be under consideration рассматри
ваться
under the circumstances при этих об стоятельствах
to be under construction строиться
under the contract (agreement) по контракту (соглашению), в соответствии с контрактом (соглашением)
to be under discussion обсуждаться
to be under repair ремонтироваться